Claus Meier, Nürnberg

Die Fouriersche Wärmeleitungsgleichung

Vorbemerkung des Herausgebers

Erläuterung der Formel (3):

Die rechte Seite beschreibt einmal die Differenz unterschiedlicher Wärmestromdichten q₁ und q₂, die bei instationären Verhältnissen immer auftreten (unterschiedliche Temperaturgradienten, also Temperaturkurven und keine Geraden) und zum anderen eine sonstige Wärmequelle (E× D x oder analog I× a_s), wie sie z. B. bei der Solarstrahlung vorliegt. Die Wärmestromdifferenz D q und die sonstige Wärmequelle E ×D x entsprechen dann der eingespeicherten Energie f(c r ) auf der linken Seite der Formel.

Für die Energiebilanz einer Außenwand - und nur darum geht es - ist die Tatsache entscheidend, daß bei vorliegenden instationären Verhältnissen der linke Ausdruck, der die Speicherfähigkeit eines Bauteils kennzeichnet, nicht weggelassen werden darf. Dies jedoch geschieht, wenn der stationäre Fall weiterverfolgt wird.

Für den stationären Fall (Beharrungszustand) geht die allgemeine Fouriersche Wärmeleitungsgleichung (1) durch Nullsetzung in die Laplace-Gleichung (Potentialgleichung) über [3]:

(4) (W/m³)

Wird nun wiederum nur das eindimensionale Temperaturfeld in x-Richtung betrachtet, dann folgt daraus in Differenzen-Schreibweise analog Formel (3) gemäß Skizze 4:

(5) (W/m²)

Hier wird deutlich:

1. Die linke Seite der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung (s. Formel 3), also die Speicherkomponente mit dem charakteristischen Speicherwert c und dem Massewert r, wird zu Null. Speicherfähigkeit wird somit ignoriert, wird nicht mehr benötigt. Der Grund ist:

2. Die Differenz zweier Wärmestromdichten in der x-Richtung (s-Richtung) wird auch zu Null. Wenn jedoch die Differenz zu Null wird, dann muß überall die gleiche Wärmestromdichte q vorliegen. Der einem Volumenteilchen zufließende Wärmestrom ist also gleich dem abfließenden Wärmestrom; Energie wird also nicht eingespeichert - und auch nicht abgegeben. Charakteristikum des Beharrungszustandes, des stationären Zustandes, ist also die konstante Wärmestromdichte q mit geradlinigen Temperaturverteilungen.

3. Auch die sonstige Wärmequelle, wie z. B. die Solarstrahlung, wird zu Null, Solarenergie wird also nicht berücksichtigt.

Durch Nullsetzung der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung werden somit die Speicherfähigkeit der Außenbauteile negiert, die konstante Wärmestromdichte im Bauteil erzwungen und dieSolarstrahlung ignoriert. Die konstante, linearisierte Wärmestromdichte ist ein Charakteristikum des Beharrungszustandes.

Diese rigorose Vorgehensweise führt dann bei der Ableitung des k-Wertes, wenn nun für eine monolithische Konstruktion die entsprechenden Abmessungen und Temperaturdifferenzen eingesetzt werden, zu folgender Wärmestromdifferenz:

(6) (W/m²)

Wird der k-Wert verwendet, dann wird:

(7) (W/m²)

Erläuterung der Formel (7):

Die eckige Klammer beschreibt die Wärmestromdichte q. Die Differenz ist Null. Dies bedeutet: Die einem Volumenteilchen zugeführte Energie ist gleich der abgeführten Energie, die Wärmestromdichte q in W/m² ist somit konstant, die Temperaturlinie ist eine Gerade, Speicherung findet nicht statt.

Diese konstante Wärmestromdichte wird dann demzufolge:

(8) (W/m²)

Erst diese stationäre Deutung der konstanten Wärmestromdichte q führt zu der in der DIN 4108 aufgeführten und nur für den Beharrungszustand geltenden Formel. Von der ursprünglich aus fünf Komponenten bestehenden Fourierschen Wärmeleitungsgleichung verbleibt durch Nichtberücksichtigung zweier Wärmeströme (y und z-Richtung) sowie durch Nullsetzung der verbleibenden Komponenten nur ein Ausdruck übrig.

Dieses Überbleibsel der Forierschen Wärmeleitungsgleichung ist dann die heilige Kuh des Gebäudewärmeschutzes, nämlich der allgegenwärtige k-Wert (heute U-Wert), der das gesamte Bauwesen wärmetechnisch beherrscht und mit seiner Ausschließlichkeit förmlich stranguliert.

Deshalb steht auch in [4]:

"Beim Anheizen oder Auskühlen von Räumen oder bei Sonnenzustrahlung liegen jedoch instationäre Verhältnisse vor, so daß diese durch die Werte 1/L (oder R in m²K/W) und k (oder U in W/m²K) nicht erfaßt werden".

Diese Tatsache aber ist seit langem bekannt. Nach Cammerer benötigt eine massive 38 cm Ziegelwand konstante Lufttemperaturen über einen Zeitraum von mindestens drei Tagen, um den Beharrungszustand zu erreichen [5]. Da jedoch konstante Lufttemperaturen über einen derart langen Zeitraum in Realität nicht vorliegen, bedeutet der "Beharrungszustand" nur eine Fiktion.

Insofern ist es schon richtig, wenn in [4] geschrieben steht:

"Die Wärmeleitung durch eine ebene Platte eines Baustoffes im Beharrungszustand der Temperaturverteilung, das heißt nach genügend langer Zeit bei konstanten Temperaturen zu beiden Seiten der Platte, erfolgt nach der Gleichung ..."

und nun wird die allseits bekannte, nur für den Beharrungszustand gültige Formel genannt.

Prof. Werner (FHS München) hält für herkömmlich schwere Gebäude, bei dem der stationäre k-Wert auch für instationäre Verhältnisse in etwa zutrifft, einen notwendigen Zeitraum konstanter Lufttemperaturen auf beiden Seiten der Konstruktion von bis zu drei Wochen für erforderlich [10]. Bei drei Wochen könnten in der Tat die notwendigen Einpendelungszeiten zum Beharrungszustand am Anfang und am Ende in etwa vernachlässigt werden, so daß die Fehler nicht allzu groß werden.

Den Grundstein für diesen Irrtum legte bereits Prof. Gertis in [6], indem er schrieb:

"Der Dämmwert (und damit der k-Wert) beschreibt die Transmissionswärmeverluste durch ebene Außenbauteile nicht nur im stationären Temperaturzustand, sondern auch bei beliebig periodisch-instationären Randbedingungen im Periodenmittel in zutreffender Weise, dabei kann es sich um eine Tagesperiode, eine Heizperiode oder einen ganzen Jahres. bzw. Mehrjahreszyklus handeln. Der k-Wert stellt somit auch eine instationäre Kenngröße dar, welche den stationären Sonderfall mit einschließt".

Hier wird in fataler Weise von einer falschen Ausgangsposition ausgegangen. Diese Lesart gilt nämlich nur dann, wenn statt der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung (Gleichung 1) die "Laplace-Gleichung" (Potentialgleichung), gültig nur für den Beharrungszustand (Gleichung 4), nun als Diffentialgleichung zweiter Ordnung numerisch weiterbehandelt wird - und hierfür kann dann in der Tat auch der Mittelwert verwendet werden.

Beim Beharrungszustand jedoch werden durch die Nullsetzung der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung, und daran muß hier besonders erinnert werden, folgende Randbedingungen vorausgesetzt und angenommen:

1. Die Solarstrahlung wird nicht berücksichtigt.

Aber gerade diese garantiert doch die entscheidenden Vorteile bei der Energiebilanz einer Außenwand. Immerhin ergeben sich äußere Wandoberflächentemperaturen von etwa 10 bis 30°C, die das Wärmegefälle in der Außenwand umdrehen.

2. Die Wärmestromdichte im Außenbauteil bleibt generell konstant. Jedem Bauphysikbuch kann dies entnommen werden; bei seriösen Büchern wird dann auch besonders auf den Beharrungszustand hingewiesen.

Bei Außentemperaturänderungen und Solarstrahlung tritt jedoch dieser Beharrungszustand nicht sofort ein, sondern benötigt wegen der Speicherfähigkeit der Wand dazu eine gewisse Zeit (bei speicherfähigen Baustoffen dauert das Einpendeln bis zu drei Tage). Konstante Wärmestromdichten sind deshalb nur fiktiv.

3. Erst durch 1. (Solarstrahlung gleich null) und 2. (konstante Wärmestromdichte) wird die Speicherfähigkeit nicht beansprucht, sie spielt dann keine Rolle mehr.

Diese Randbedingungen sind im täglichen 24 Stunden Rhythmus jedoch reine Fiktion, denn bei Temperaturänderungen und Sonnenzustrahlung wird ein neuer Beharrungszustand, also die gerade Temperaturlinie, nicht schlagartig und sofort erreicht, sondern erst nach Stunden oder Tagen. Allein nur wenig speicherfähiges Material (wie z. B. Styropor oder Mineralwolle) ist in der Lage, den neuen Beharrungszustand relativ schnell zu erreichen und damit dem k-Wert entgegenzukommen. Eventuelle Simulationsrechnungen behandeln somit entweder eine Situation, die es in Realität überhaupt nicht gibt oder sie gelten nur für speicherloses Material. Damit aber dominiert auf der ganzen Linie die rechnerische Utopie.

Da jetzt durch die EnEV 2000 die Altbausubstanz, also massive, speicherfähige Wände, der k-Wert Doktrin unterworfen werden sollen, beruht diese Verpackungskampagne auf Fehlschlüssen und Falschaussagen. Es ist schon recht erstaunlich, daß gerade die besonders fatalen Irrtümer derart Furore machen und eine lawinenartige Verbreitung finden. Dies aber ist im Lobbyistenstaat wohl kein Einzelfall.

Ehe man aber mit dem k-Wert wegen der Scheu vor "schwierigen Rechenmechanismen" völlig falsch rechnet, wäre es doch erstrebenswerter, ein Rechenverfahren einzusetzen, das, in deduktiver Weise abgeleitet, die wirklichen Verhältnisse ziemlich genau beschreibt und zu Ergebnissen kommt, die realistisch sind [7], [8]. [Erg. KF: Zum besseren Rechnen mit dem k_eff-Wert (heute U_eff-Wert) nach Prof. Meier] Empirische Untersuchungen [Erg. KF: Fehlgeschlagene Hausisolierung mit Dämmstoffen] zeigen ja die Diskrepanz zwischen Rechnung und Realität.

Resümee:

Die reduzierte Fouriersche Wärmeleitungsgleichung in Differenzen-Schreibweise (3) wird trotz des in der Wirklichkeit nie vorliegenden Beharrungszustandes in unzulässiger Weise zu Null gesetzt. Man erhält damit eine reduzierte Laplace-Gleichung (5) und damit die Formel für den im Gebäudewärmeschutz alles bestimmenden k-Wert nach DIN 4108 (8).
Alle Berechnungen mit diesem, nur für den Beharrungszustand gültigen k-Wert entsprechen somit nicht der Wirklichkeit, der k-Wert ist schlichtweg ein Phantom, eine Fiktion [9].